随机事件与样本空间

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OUTLINE:

一、随机事件与样本空间

  1. 随机试验
  2. 随机事件：一次试验中可能出现，也可能不出现的结果，用大写字母A、B…表示；必然事件&不可能事件
  3. 样本空间：随机试验中最基本、最简单的结果成为基本事件；所有基本事件的全体集合称为样本空间

二、事件的关系与运算

关系
  1. 包含：事件A发生必导致事件B发生，称事件B包含事件A，记为 $$ A \subset B $$
  2. 相等：如果 $$ A \subset B 且 A \supset B 同时满足$$ 则称事件A与事件B相等
  3. “事件A与B同时发生”的事件为事件A与事件B的交，记为 $$ A\cap B 或 AB$$
  4. 若 $$ AB \neq \emptyset $$ 则称“事件A与B相容”；若 $$ AB = \emptyset $$ 则称“事件A与事件B互不相容”，也叫互斥
  5. “事件A与事件B至少有一个发生”的事件为事件A与事件B的并，记为 $$ A \cup B $$
  6. 称“事件A发生而事件B不发生”的事件为事件A与B的差，记为 $$ A - B $$ 称“事件A不发生”的事件为事件A的对立事件，记为 $$ \bar A $$ 由定义可知， $$ A - B = A - AB =A \bar B , B = \bar A \leftrightarrow AB = \emptyset 且 A \cup B= \Omega$$
  7. 称有限个事件 $$ A_1,A_2,A_3,…,A_n $$ 构成一个完备事件组
  8. 事件的关系可以用 Venn diagram 表示
运算

1.吸收律：若 $$ A \subset B ,则 A \cup B=B,A \cap B =A$$ 2.交换律： $$ A \cup B=B \cup A,A \cap B=B \cap A $$ 3.结合律 $$ (A \cup B) \cup C=A \cup (B \cup C),(A \cap B) \cap C=A \cap (B \cap C) $$ 4.分配率 $$ A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup (A \cap B);A \cup (B \cap C)=(A \cup B) \cap (A \cup C)$$ 5.对偶律(de Morgan) “长杠变短杠，开口换方向” $$ \overline {A \cup B} = \bar A \cap \bar B ; \overline {A \cap B} = \bar A \cup \bar B$$ 5.运算顺序：逆运算☞交运算☞并或差运算

三、概率的概念和基本性质

概率的三种定义

1.描述性：将随机事件A发生的可能性大小的度量（非负值），称为事件A发生的概率，记为P(A) 2.统计性：在相同条件下做重复试验，事件A出现的次数k和总的试验次数n之比k/n，称为事件A在这n次试验中出现的频率。当试验次数n充分大时，频率将“稳定”于常数p的“附近”，n越大，频率偏离这个常数p的可能性越小，这个常数p称为事件A的概率 3.公理化：非负性；规范性；可列可加性

概率的基本性质

1.空集的概率是0 $$ P(\emptyset)=0 $$ 2.有限可加性： $$ 若 A_1，A_2,…,A_n是两两互不相容的事件，则有 P(A_1 \cup A_2 \cup …A_n)=P(A_1)+P(A_2)+…+P(A_n) $$ 3.单调性：设A,B是两个事件， $$ 若A \subset B,则有P(B-A) = P(B)-P(A),P(B) \ge P(A) $$ 4.有界性： $$ 对任意事件A，有 0 \le P(A) \le 1 $$ 5.逆事件的概率 $$ 对任意事件A，有P(\bar A)=1-P(A) $$ 6.加法公式 $$ 对两个任意事件A，B，有P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(AB) $$ 7.减法公式 $$ P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A \bar B) $$

四、古典型概率和几何型概率

古典概型

只有有限个基本事件点

几何概型

样本空间是一个几何区域 $$ P(A)=\frac{S_A 的几何度量}{\Omega的几何度量} $$

五、条件概率及公式：乘法公式、全概率公式

1.条件概率：设事件A，B为任意两个事件，若P(A)>0,我们称在已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率为条件概率，记为P(B|A),并定义 $$ P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$$ 2.乘法公式：如果P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A) 3.全概率公式： $$ 如果A_i全体集合是全集，且A_i与A_j两两互斥，则P(B)=\Sigma P(A_i)P(B|A_i),此处P(A_i)可以视作加权系数$$

六、事件的独立性和独立重复试验

1.事件的独立性： (1)直观：若A,B两个事件，如果其中任何一个事件发生的概率不受另外一个事件发生与否的影响，则称事件A与B相互独立 (2)数学（可分离）：设A,B为事件，如果P(AB)=P(A)P(B),则称A与B独立 2.独立性的判定 $$ (1)A与B相互独立 \leftrightarrow A与\bar B相互独立 \leftrightarrow \bar A 与B独立 \leftrightarrow \bar A 与 \bar B相互独立 $$ $$ (2)若P(A)>0,则A与B相互独立 \leftrightarrow P(B|A)=P(B) $$ $$ (3)若P(A)=0或P(A)=1,则A与任意事件B相互独立 $$ 3.独立于互斥、包含的关系： 若0<P(A)<1,0<P(B)<1,A与B互斥或存在包含关系，则A与B一定不独立

###七、注意点

  • 符号化实际问题
  • 理解样本空间概念，会找完备事件组
  • 频率、概率 $$ A \cup B=? ; A-B=? $$